b, \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\mx-y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\m\left(5+2y\right)-y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\5m+2my-y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\2my-y=4-5m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\y\left(2m-1\right)=4-5m\end{matrix}\right.\)

Hpt trên có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) 2m - 1 \(\ne\) 0 \(\Leftrightarrow\) m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\)

Khi đó ta có hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2y\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2.\dfrac{4-5m}{2m-1}\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Vậy với m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\) thì hpt trên có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Vì x, y trái dấu nên ta xét 2 trường hợp

Th1: x > 0; y < 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2m-1}>0\\\dfrac{4-5m}{2m-1}< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2m-1>0\\4-5m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{1}{2}\\m>\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) m > \(\dfrac{4}{5}\) (Thỏa mãn)

Th2: x < 0; y > 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2m-1}< 0\\\dfrac{4-5m}{2m-1}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2m-1< 0\\4-5m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{2}\\m>\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{4}{5}< m< \dfrac{1}{2}\) (Vô lý)

Vậy m > \(\dfrac{4}{5}\) thì hpt có nghiệm duy nhất và thỏa mãn x, y trái dấu

c, Từ b ta có:

 Với x \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\) hpt có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Vì x = |y| \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{3}{2m-1}=\left|\dfrac{4-5m}{2m-1}\right|\)

Xét các trường hợp:

Th1: \(\dfrac{3}{2m-1}=\dfrac{4-5m}{2m-1}\) 

\(\Leftrightarrow\) 3 = 4 - 5m (Vì m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\))

\(\Leftrightarrow\) 5m = 1

\(\Leftrightarrow\) m = \(\dfrac{1}{5}\) (TM)

Th2: \(\dfrac{3}{2m-1}=\dfrac{5m-4}{2m-1}\)

\(\Leftrightarrow\) 3 = 5m - 4 (Vì m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\))

\(\Leftrightarrow\) 5m = 7

\(\Leftrightarrow\) m = \(\dfrac{7}{5}\) (TM)

Vậy với m = \(\dfrac{1}{5}\); m = \(\dfrac{7}{5}\) thì hpt có nghiệm duy nhất và thỏa mãn x = |y|

Chúc bn học tốt!

Nguyễn Lê Phước Thịnh , Hồng Phúc , Nguyễn Thị Thuỳ Linh , Tan Thuy Hoang , Nguyễn Duy Khang , Nguyễn Trần Thành Đạt 

giúp mik đc ko, mikk cần gấp

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-y=2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x+mx=2+m\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(2m-1\right)=m+2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+2}{2m-1}\\y=m-mx=m-m\cdot\dfrac{m+2}{2m-1}=m-\dfrac{m^2+2m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+2}{2m-1}\\y=\dfrac{2m^2-m-m^2-2m}{2m-1}=\dfrac{m^2-3m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Để x+y>0 thì \(\dfrac{m+2}{2m-1}+\dfrac{m^2-3m}{2m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m+2+m^2-3m}{2m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2-2m+2}{2m-1}>0\)

mà \(m^2-2m+2>0\forall m\)

nên 2m-1>0

\(\Leftrightarrow2m>1\)

hay \(m>\dfrac{1}{2}\)

Vậy: Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x+y>0 thì \(m>\dfrac{1}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-y=2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-m+mx=2\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}mx-x-m+mx=2\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2mx-x=2+m\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x\left(2m-1\right)=2+m\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)

Hpt có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) 2m - 1 \(\ne\) 0 \(\Leftrightarrow\) m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+m}{2m-1}\\y=m-m.\dfrac{2+m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+m}{2m-1}\\y=\dfrac{m^2-3m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x; y) = ...

Ta có: x + y > 0

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{m^2-2m+2}{2m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(m-1\right)^2+1}{2m-1}\) > 0

\(\Leftrightarrow\) 2m - 1 > 0 (vì (m - 1)² + 1 > 0 với mọi m)

\(\Leftrightarrow\) 2m > 1

\(\Leftrightarrow\) m > \(\dfrac{1}{2}\)

Kết hợp với m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\) ta có: m > \(\dfrac{1}{2}\) thì hpt có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x + y > 0

Vậy m > \(\dfrac{1}{2}\)

Chúc bn học tốt! (Chắc đúng :D)

\(2)mx^2-2\left(m-1\right)x+m-1=0\)

Để pt có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4m\left(m-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow-4m+4=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)

Vậy để pt trên có nghiệm kép thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m=1\end{matrix}\right.\)

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{2}{m}\ne\dfrac{-1}{1}=-1\)

=>\(m\ne-2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\mx+y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+mx+y=6\\2x-y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(m+2\right)=6\\y=2x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{6}{m+2}\\y=2\cdot\dfrac{6}{m+2}-1=\dfrac{12}{m+2}-1=\dfrac{12-m-2}{m+2}=\dfrac{-m+10}{m+2}\end{matrix}\right.\)

Để x>0 và y<0 thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{m+2}>0\\\dfrac{-m+10}{m+2}< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m+2>0\\\dfrac{m-10}{m+2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-2\\\left[{}\begin{matrix}m>10\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>m>10

khi m=2 ta có hệ pt:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=2+1\\2x+y=2.2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y=3\\2x+y=4\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=6\\2x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3y=2\\x+2y=3\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}\\2x+\dfrac{2}{3}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}\\2x=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}\\x=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

vậy khi m=2 thì hệ pt có nghiệm duy nhất\(\left\{\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right\}\)

a) Thay m=2 vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=3\\2x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=6\\2x+y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3y=2\\x+2y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}\\x=3-2y=3-2\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi m=2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)

Lời giải:
$x+2y=5\Leftrightarrow x=5-2y$. Thay vô pt $(1)$

$m(5-2y)+y=4$

$\Leftrightarrow y(1-2m)=4-5m$

Để pt có nghiệm duy nhất thì $1-2m\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{1}{2}$

Khi đó: $y=\frac{4-5m}{1-2m}$

$x=5-2y=5-\frac{2(4-5m)}{1-2m}=\frac{-3}{1-2m}$
$x>0\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}>0\Leftrightarrow 1-2m<0\Leftrightarrow m> \frac{1}{2}(1)$
$y>0\Leftrightarrow \frac{4-5m}{1-2m}>0\Leftrightarrow 4-5m<0$ (do $1-2m< 0$

$\Leftrightarrow m> \frac{4}{5}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow m> \frac{4}{5}$

$x> y\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}> \frac{4-5m}{1-2m}$

$\Leftrightarrow \frac{5m-7}{1-2m}>0$

$\Leftrightarrow 5m-7< 0$ (do $1-2m<0$)

$\Leftrightarrow m< \frac{7}{5}$

Vậy $\frac{4}{5}< m< \frac{7}{5}$

Lời giải:
$x+2y=5\Leftrightarrow x=5-2y$. Thay vô pt $(1)$

$m(5-2y)+y=4$

$\Leftrightarrow y(1-2m)=4-5m$

Để pt có nghiệm duy nhất thì $1-2m\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{1}{2}$

Khi đó: $y=\frac{4-5m}{1-2m}$

$x=5-2y=5-\frac{2(4-5m)}{1-2m}=\frac{-3}{1-2m}$
$x>0\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}>0\Leftrightarrow 1-2m<0\Leftrightarrow m> \frac{1}{2}(1)$
$y>0\Leftrightarrow \frac{4-5m}{1-2m}>0\Leftrightarrow 4-5m<0$ (do $1-2m< 0$

$\Leftrightarrow m> \frac{4}{5}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow m> \frac{4}{5}$

$x> y\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}> \frac{4-5m}{1-2m}$

$\Leftrightarrow \frac{5m-7}{1-2m}>0$

$\Leftrightarrow 5m-7< 0$ (do $1-2m<0$)

$\Leftrightarrow m< \frac{7}{5}$

Vậy $\frac{4}{5}< m< \frac{7}{5}$

=>y=(m+1)x-m-1 và x+(m^2-1)x-m^2+1=2

=>x=2-1+m^2/m^2 và y=(m+1)x-m-1

=>x=(m^2+1)/m^2 và y=(m^3+m^2+m+1-m^3-m^2)/m^2=(m+1)/m^2

x+y=(m^2+m+2)/m^2

Để x+y min thì m^2+m+2 min

=>m^2+m+1/4+7/4 min

=>(m+1/2)^2+7/4min

=>m=-1/2

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\2mx-my=m^2+5m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\\left(m+1\right)x=m^2+2m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\\left(m+1\right)x=\left(m+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

Pt có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m\ne-1\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1\\y=m-3\end{matrix}\right.\)

\(x^2-y^2=4\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-\left(m-3\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow8m=12\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\)